POSET

POSET

            Poset adalah suatu relasi yang memenuhi tiga sifat yaitu reflektif, anti simetri dan transitif.

Contoh soal :

1.             A = { -4, -3, -2, -1} dan R = {(x,y) │x,y є A,  x ≤ y }

Periksa apakah R poset atau tidak ?

Peny :

A x A     = {(-4,-4), (-4,-3), (-4,-2), (-4,-1), (-3,-4), (-3,-3), (-3,-2), (-3,-1), (-2,-4), (-2,-3)

                    (-2,-2), (-2,-1), (-1,-4), (-1,-3), (-1,-2), (-1,-1)}

R            = {(-4,-4), (-4,-3), (-4,-2), (-4,-1), (-3,-3), (-3,-2), (-3,-1),(-2,-2), (-2,-1), (-1,-1)}

·                     Reflektif            : Karena setiap x  є A berlaku {(x,x   є R)} maka sifat reflektif terpenuhi. R = {(-4,-4), (-3,-3), (-2,-2), (-1,-1)}

·                     Transitif : Karena untuk setiap x, y, z є A berlaku xRy dan yRz berlaku xRz, maka sifat transitif terpenuhi. Bukti (-4,-2) є R, (-2,-1) ) є R  dan  (-4,-1).

·                     Antisimetris       : Karena untuk setiap x, y є A berlaku xRy dan yRx berlaku       x = y, maka sifat antisimetris  terpenuhi.

Karena ketiga sifat   dipenuhi maka R adalah poset.

2.             A = { -4, -3, -2, -1} dan R = {(x,y) │x,y є A,  x <  y }

Periksa apakah R poset atau tidak ?

Peny :

A x A     = {(-4,-4), (-4,-3), (-4,-2), (-4,-1), (-3,-4), (-3,-3), (-3,-2), (-3,-1), (-2,-4), (-2,-3)

                    (-2,-2), (-2,-1), (-1,-4), (-1,-3), (-1,-2), (-1,-1)}

R            =  {(-4,-3), (-4,-2), (-4,-1), (-3,-2), (-3,-1), (-2,-1)}

·                     Reflektif            : Karena setiap x  є A tidak berlaku {(x,x   є R)} maka sifat reflektif tidak terpenuhi. R = {(-4,-3), (-4,-2), (-4,-1), (-3,-2), (-3,-1), (-2,-1)}

Karena sifat reflektif      tidak dipenuhi maka R bukan poset.

3.             A = {1, 3, 5, 7,9} dan R = {(1,1), (1,5), (5,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,1), (1,4), (5,5) }

Periksa apakah R poset atau tidak ?

Diagram Hasse

            Jika suatu relasi adalah sebuah poset maka relasi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk diagram. Diagram ini dikenal dengan diagram Hasse. Pada diagram Hasse tiap elemen diwakili oleh sebuah lingkaran kecil atau titik. Jika x < y maka x digambar dibawah lingkaran yang mewakili y.

Contoh Soal :

1.             Misalkan A = {1,2,3,4,5}. Relasi ≤ didefenisikan sebagai x ≤ y. Gambarkan diagram Hasse dari (A, ≤)

Peny

2.             Misalkan B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Didefnisikan sebagai x ≤ y dan y habis dibagi oleh x, gambarkan diagram Hassenya 

·                Jika A adalah poset dan a,b є A. Maka c ɛ A disebut batas atas {a,b} jika a ≤ c dan        b ≤ c.

·                Jika A adalah poset dan a,b є A. Maka d ɛ A disebut batas bawah {a,b} jika d  ≤ a dan           d ≤ b.

3.             Misalkan B = {2,7,14,28, 56, 84}. Didefnisikan sebagai x ≤  y dan y habis dibagi oleh x, Tentukan :

a.       Gambarkan diagram Hassenya ?

b.      Tentuka batas atas dari {2, 7}

c.       Tentukan batas bawah dari {56, 84}

Peny 

a.         Batas atas dari {2,7} adalah 14, 28, 56, 84

b.         Batas bawah dari {56,84} adalah 28, 14, 7, 2

4.             Misalkan B = {2,3,4,6,12,18,24,36}. Didefnisikan sebagai x ≤  y dan y habis dibagi oleh x, Tentukan :

a.         Gambarkan diagram Hassenya ?

b.        Tentuka batas atas dari {2,3}

c.         Tentukan batas bawah dari {24,36}

·                Jika A adalah poset dan a,b ɛ A. Jika c adalah batas atas dari {a,b} dan untuk setiap batas dari d dari {a,b} berlaku c ≤ d. Maka c dinamkan batas atas terkecil atau supremum dari {a,b} dan dilambangkan c = a + b.

·                Jika A adalah poset dan a,b ɛ A. Jika c adalah batas bawah dari {a,b} dan untuk setiap batas d dari {a,b} berlaku d ≤ c. Maka c dinamakan batas bawah terbesar atau infimum dari {a,b} dan dilambangkan c = a * b.